Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?

OBMEP 2022 - QUESTÃO 18 Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível...
OBMEP 2022 - QUESTÃO 18
Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?

(A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 10

(E) 14

QUESTÃO ANTERIOR:

GABARITO:
(D) 10

RESOLUÇÃO:
Vamos encontrar todos os pares de números inteiros positivos a e b para os quais sejam cumpridas as condições do enunciado. Como a + 2 é múltiplo de b, temos b a + 2; como b + 2 é múltiplo de a, temos a b + 2.  Portanto, a diferença b – a só pode variar entre –2 e 2. Pela simetria entre a e b, basta examinar os casos em que a  diferença b – a é igual a 0, 1 ou 2 (os casos em que a diferença é igual a – 1 ou – 2 dão origem às mesmas soluções  que os casos em que é igual a 1 ou 2, com os valores de a e b trocados).

Caso b – a = 0:

Neste caso, a + 2 é múltiplo de a, o que equivale a dizer que 2 é múltiplo de a. Logo, a pode ser 1 ou 2, o que fornece as soluções a = b = 1 e a = b = 2.

Caso b – a = 1:

Neste caso, b = a a + 2 deve ser múltiplo de a + 1. Como a + 2 = (a + 1) + 1, isto implica que 1 seja múltiplo de a + 1. Como a é positivo, essa hipótese é impossível e, portanto, não há soluções neste caso.

Caso b – a = 2.

Neste caso, b = a + 2 e as condições a serem satisfeitas são de que a + 2 = b seja múltiplo de b (o que é sempre verdade) e de que b + 2 = a + 4 seja múltiplo de a. Para que isso aconteça, 4 deve ser múltiplo de a ou, equivalentemente, a deve ser um divisor de 4. Logo, temos as possibilidades a = 1, b = 3; a = 2, b = 4; e a = 4, b = 6.

Como no caso b – a = 1, não há soluções para o caso b – a = –1. As soluções para o caso b – a = –2 são as mesmas do caso b – a = 2, com a e b trocados: a = 3, b = 1; a = 4, b = 2; e a = 6, b = 4.

O maior valor de a + b ocorre nas soluções a = 4, b = 6 e a = 6, b = 4, para as quais a + b = 10.

PRÓXIMA QUESTÃO:

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
Nome

Enade,23,Enem,3,Exercícios,91,Exercícios de Alemão,1,Exercícios de Biologia,4,Exercícios de Ciências,3,Exercícios de Ciências da Natureza,1,Exercícios de Ciências Humanas,1,Exercícios de Educação Infantil,2,Exercícios de Espanhol,3,Exercícios de Filosofia,2,Exercícios de Física,6,Exercícios de Francês,3,Exercícios de Geografia,10,Exercícios de História,7,Exercícios de Inglês,5,Exercícios de Italiano,1,Exercícios de Linguagens,1,Exercícios de Literatura,3,Exercícios de Matemática,13,Exercícios de Português,13,Exercícios de Química,7,Exercícios de Redação,1,Exercícios de Sociologia,4,Exercícios Ensino Fundamental,1,Questões,2594,Questões da OAB,80,Questões da OBMEP,82,Questões da Santa Casa,100,Questões de Artes,40,Questões de Biologia,33,Questões de Ciências,36,Questões de Ciências da Natureza,75,Questões de Ciências Humanas,120,Questões de Espanhol,49,Questões de Filosofia,2,Questões de Física,77,Questões de Geografia,28,Questões de História,27,Questões de Inglês,51,Questões de Linguagens,119,Questões de Literatura,12,Questões de Matemática,395,Questões de Português,321,Questões de Química,48,Questões de Redação,4,Questões de Sociologia,20,Questões de Vestibular,288,Questões do Enade,677,Questões do Enem,404,
ltr
item
Meus Exercícios: Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?
Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?
Meus Exercícios
https://www.exercicios.indaguei.com/2022/09/sejam-e-b-inteiros-positivos-tais-que-2-e-multiplo-de-b-e-b-2-e-multiplo-de-a-qual-e-o-maior-valor-possivel-para-a-b-.html
https://www.exercicios.indaguei.com/
https://www.exercicios.indaguei.com/
https://www.exercicios.indaguei.com/2022/09/sejam-e-b-inteiros-positivos-tais-que-2-e-multiplo-de-b-e-b-2-e-multiplo-de-a-qual-e-o-maior-valor-possivel-para-a-b-.html
true
8294249373369231624
UTF-8
Todas as Postagens Não foram encontradas postagens VEJA TODOS Leia Mais Resposta Cancelar resposta Deletar Por Home PÁGINAS POSTS Veja todos RECOMENDADOS PARA VOCÊ Tudo Sobre ARQUIVOS BUSCAR TODOS OS POSTS Nenhuma postagem foi encontrada Voltar para Home Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Janeiro Fevereiro Março Abril Mai Junio Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Agora mesmo 1 minuto atrás $$1$$ minutes ago 1 hora atrás $$1$$ hours ago Ontem $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago mais de 5 semanas atrás Seguidores Seguir CONTEÚDO PREMIUM BLOQUEADO PASSO 1: Compartilhar em uma rede social PASSO 2: Clique no link na sua rede social Copiar todo o código Selecionar todo o código Todos os códigos foram copiados Não é possível copiar os códigos / textos, pressione [CTRL] + [C] para copiar Tabela de conteúdo