OBMEP 2022 - QUESTÃO 18 Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível...
OBMEP 2022 - QUESTÃO 18
Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 10
(E) 14
QUESTÃO ANTERIOR:
GABARITO:
(D) 10
RESOLUÇÃO:
Vamos encontrar todos os pares de números inteiros positivos a e b para os quais sejam cumpridas as condições do enunciado. Como a + 2 é múltiplo de b, temos b a + 2; como b + 2 é múltiplo de a, temos a b + 2. Portanto, a diferença b – a só pode variar entre –2 e 2. Pela simetria entre a e b, basta examinar os casos em que a diferença b – a é igual a 0, 1 ou 2 (os casos em que a diferença é igual a – 1 ou – 2 dão origem às mesmas soluções que os casos em que é igual a 1 ou 2, com os valores de a e b trocados).
Caso b – a = 0:
Neste caso, a + 2 é múltiplo de a, o que equivale a dizer que 2 é múltiplo de a. Logo, a pode ser 1 ou 2, o que fornece as soluções a = b = 1 e a = b = 2.
Caso b – a = 1:
Neste caso, b = a a + 2 deve ser múltiplo de a + 1. Como a + 2 = (a + 1) + 1, isto implica que 1 seja múltiplo de a + 1. Como a é positivo, essa hipótese é impossível e, portanto, não há soluções neste caso.
Caso b – a = 2.
Neste caso, b = a + 2 e as condições a serem satisfeitas são de que a + 2 = b seja múltiplo de b (o que é sempre verdade) e de que b + 2 = a + 4 seja múltiplo de a. Para que isso aconteça, 4 deve ser múltiplo de a ou, equivalentemente, a deve ser um divisor de 4. Logo, temos as possibilidades a = 1, b = 3; a = 2, b = 4; e a = 4, b = 6.
Como no caso b – a = 1, não há soluções para o caso b – a = –1. As soluções para o caso b – a = –2 são as mesmas do caso b – a = 2, com a e b trocados: a = 3, b = 1; a = 4, b = 2; e a = 6, b = 4.
O maior valor de a + b ocorre nas soluções a = 4, b = 6 e a = 6, b = 4, para as quais a + b = 10.
PRÓXIMA QUESTÃO:
QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
