Cinco jogadores disputam um torneio de tênis de mesa de modo que cada jogador enfrenta todos os outros exatamente uma vez

OBMEP 2022 - QUESTÃO 17 Cinco jogadores disputam um torneio de tênis de mesa de modo que cada jogador enfrenta todos os outros exatamente um...

OBMEP 2022 - QUESTÃO 17

Cinco jogadores disputam um torneio de tênis de mesa de modo que cada jogador enfrenta todos os outros exatamente uma vez. Nessas partidas não há empates. Em cada partida, os dois jogadores têm a mesma probabilidade de ganhar, e o resultado de uma partida não influencia o resultado das demais.

Qual é a probabilidade de que algum jogador vença todas as suas partidas?

(A) 14

(B) 58

(C) 516

(D) 5/32

(E) 5/64

QUESTÃO ANTERIOR:

- A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 x 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não se altera quando girado de 90º

GABARITO:

(C) 516

Considere os eventos:

A: o jogador 1 vence todas as partidas

B: o jogador 2 vence todas as partidas

C: o jogador 3 vence todas as partidas

D: o jogador 4 vence todas as partidas

E: o jogador 5 vence todas as partidas

Os eventos descritos acima são mutuamente exclusivos, isto é, não há intersecção, já que, se o jogador 1 vencer todas as partidas, os outros já perderam a partida com esse jogador. Ainda, como as partidas são independentes, 

P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = P(E) = (1/2)⁴ = (1/16)

Assim, a probabilidade solicitada é P(A8B8C8D8E) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + P(E) = (5/16)

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Sejam a e b inteiros positivos tais que a + 2 é múltiplo de b e b + 2 é múltiplo de a. Qual é o maior valor possível para a + b?

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução