OBMEP 2022 - QUESTÃO 20 Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a 2026? (A) 0 (B...
OBMEP 2022 - QUESTÃO 20
Qual é o algarismo das unidades do menor inteiro positivo par cuja soma dos seus algarismos é igual a 2026?
(A) 0
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 8
QUESTÃO ANTERIOR:
GABARITO:
(E) 8
RESOLUÇÃO:
Para facilitar a exposição, vamos chamar números pares positivos com soma de algarismos igual a 2026 de números legais. Observamos primeiro que números legais existem: por exemplo, o número que se escreve como 2026 algarismos 1 seguidos do algarismo O nas unidades; logo, existe o menor número legal, que é o que estamos procurando.
Seja n o número de algarismos de um número legal. A maior soma possível dos algarismos de um número de n algarismos é 9n; logo, 9n ≥ 2026, ou seja,
Em outras palavras, qualquer número legal tem pelo menos 226 algarismos. Observamos que números legais com exatamente 226 algarismos existem; por exemplo, 2 seguido de 224 algarismos 9 seguido de 8 é legal. Logo, o menor número legal tem 226 algarismos.
Como 2026 = 225 x 9 + 1, vemos que o primeiro algarismo à esquerda de um número legal com 226 algarismos não pode ser 1, pois, nesse caso, todos seus outros algarismos seriam 9 e ele seria ímpar. O exemplo já citado
nos mostra, por outro lado, que existem números legais com 226 algarismos que têm 2 como seu primeiro algarismo à esquerda. Observamos agora que qualquer número dessa forma é escrito com mais 224 algarismos 9 e um algarismo 8; de fato, se esse número tivesse no máximo 223 algarismos 9, a soma de seus algarismos não poderia exceder 223 x 9+2+8+8=2025, Assim, o menor número par que podemos escrever com essas condições é 2 seguido de 224 algarismos 9 seguido de 8 na casa das unidades, que é, então, o menor número legal, ou seja, é o exemplo anterior.
PRÓXIMA QUESTÃO:
QUESTÃO DISPONÍVEL EM: