OBMEP 2022 - QUESTÃO 19 A figura abaixo é formada por dois quadrados parcialmente sobrepostos. A interseção desses quadrados, com contorno p...
OBMEP 2022 - QUESTÃO 19
A figura abaixo é formada por dois quadrados parcialmente sobrepostos. A interseção desses quadrados, com contorno preto, tem área 18 cm² e perímetro 20 cm. A união desses quadrados, com contorno vermelho, tem área 163 cm? e perímetro 56 cm.
Qual é, em cm², a diferença entre as áreas dos dois quadrados?
(A) 1
(B) 4
(C) 10
(D) 15
(E) 19
QUESTÃO ANTERIOR:
GABARITO:
(E) 19
RESOLUÇÃO:
Na figura abaixo, m e n são os comprimentos dos lados dos quadrados e x, y, z e w os comprimentos dos segmentos determinados pelas interseções entre eles.
Como o perímetro da figura inteira (contorno vermelho) é 56 e o da interseção (contorno preto) é 20, temos (4m — z — w) + (4n = x — y) = 56 e 4(m+n) = 56 + (x + y + z + w) = 76, ou seja, m + n = 19.
Dado que a área da interseção é 18, temos m² + n² — 18 = 163, ou seja, m² + n² = 181. Daí, 2mn = (m + n)² — (m² + n²) = 19² - 181 = 180. A partir de 90 = mn = m(19 — m), podemos concluir que m é uma das raízes da equação do segundo grau mº — 19m + 90 = O, que são 10 e 9.
Consequentemente, n = 19 - m = 9 ou 10. Finamente, a diferença entre as áreas dos quadrados é 10º — 9º = 19.
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