A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 x 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não se altera quando girado de 90º

OBMEP 2022 - QUESTÃO 16 A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 x 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não...

OBMEP 2022 - QUESTÃO 16

A figura abaixo mostra um tabuleiro 5 x 5 formado por 25 quadrados pretos ou brancos. Observe que esse tabuleiro não se altera quando girado de 90º. Quantos tabuleiros 5 x 5 formados por quadrados pretos ou brancos não se alteram quando girados de 90°?

(A) 25

(B) 30

(C) 64

(D) 128

(E) 192

QUESTÃO ANTERIOR:

- Os nove pontos da figura estão igualmente espaçados na circunferência. Maria quer pintar alguns desses pontos de tal forma que não exista triângulo equilátero cujos vértices estejam todos pintados

GABARITO:

(D) 128

RESOLUÇÃO:

O mosaico da figura do enunciado pode ser obtido girando-se, em torno do ladrilho central, o bloco 2 x 3 formado pelos primeiros três ladrilhos das duas primeiras linhas, mais o ladrilho central.

Na verdade, qualquer mosaico de ladrilhos pretos e brancos que apresenta simetria rotacional de 90º tem essa propriedade, ou seja, é obtido a partir de sete ladrilhos: seis do bloco 2⁷ x 3 formado pelos três primeiros ladrilhos das duas primeiras linhas e mais o ladrilho central.

Como cada ladrilho pode ser preto ou branco, temos 2⁷ = 128 maneiras distintas de escolher sete ladrilhos para obter um mosaico 5 x 5 que apresenta simetria rotacional de 90º.

Logo, a quantidade de mosaicos 5 x 5 que apresentam simetria rotacional de 90º é igual a 2⁷ = 128. Observe que, dentre essas possibilidades, aparecem o tabuleiro todo branco e o tabuleiro todo preto: eles também têm simetria rotacional de 90º.

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Cinco jogadores disputam um torneio de tênis de mesa de modo que cada jogador enfrenta todos os outros exatamente uma vez. 

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução