A figura mostra três circunferências de centros O, P e Q, cada uma tangente às outras nos pontos A, B e C, como indicado

OBMEP 2022 - QUESTÃO 13 A figura mostra três circunferências de centros O, P e Q, cada uma tangente às outras nos pontos A, B e C, como indi...

OBMEP 2022 - QUESTÃO 13

A figura mostra três circunferências de centros O, P e Q, cada uma tangente às outras nos pontos A, B e C, como indicado. O diâmetro AD da circunferência de centro O tangencia a circunferência de centro Q em E. Os raios das circunferências de centro O e de centro P medem, respectivamente, 1 e 2/3.

Qual é o raio da circunferência de centro Q?

(A) 15

(B) 625

(C) 7/25

(D) 825

(E) 925

QUESTÃO ANTERIOR:

- Ana, Cláudia, Joaquim, Pedro e Fabiana se esconderam durante uma brincadeira. Nessa brincadeira,

GABARITO:

(D) 825

RESOLUÇÃO:

Lembramos que, se duas circunferências são tangentes, então seus centros e o ponto de tangência estão alinhados, bem como que uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio correspondente no ponto de contato.

No nosso caso, isso quer dizer que os triângulos OEQ e PEQ são retângulos. Se o raio procurado QE é denotado por x, então

O teorema de Pitágoras aplicado aos triângulos OEQ e PEQ nos dá, respectivamente,

e segue que

Um pouco de álgebra transforma essa expressão em 25x² - 8x = 0.

De fato,

Logo,  e, portanto, 25x² - 8x = O.

Descartamos a raiz estranha x = O e chegamos a 

PRÓXIMA QUESTÃO:

- Os nove pontos da figura estão igualmente espaçados na circunferência. Maria quer pintar alguns desses pontos de tal forma que não exista triângulo equilátero cujos vértices estejam todos pintados.

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:

- Provas OBMEP 2022 com Gabarito e Resolução