OBMEP 2021: Uma lata medindo 20 cm × 10 cm × 10 cm, sem tampa, é sustentada por um suporte

OBMEP 2021: Uma lata medindo 20 cm × 10 cm × 10 cm, sem tampa, é sustentada por um suporte, de modo que uma de suas arestas mais curtas fiqu...
OBMEP 2021: Uma lata medindo 20 cm × 10 cm × 10 cm, sem tampa, é sustentada por um suporte, de modo que uma de suas arestas mais curtas fique apoiada no plano horizontal e as arestas mais longas formem um ângulo de 45° com o plano horizontal, conforme mostra a figura. Suponha que um líquido seja colocado na lata, até a altura h em relação ao plano horizontal, também como indicado na figura.

OBMEP 2021 - QUESTÃO 04

a) Qual é o volume total da lata?

b) Explique por que a altura máxima que o líquido vai atingir é 10√2 cm e calcule o volume de líquido na lata quando essa altura é atingida.

c) Faça o gráfico da função V, que fornece o volume V(h) de líquido na lata, em cm³, quando sua superfície está na altura h, em cm.

OBMEP 2021 - QUESTÃO 04

QUESTÃO ANTERIOR:

RESOLUÇÃO:
Item A
O volume total da lata é igual a 20 × 10 × 10 = 2.000 cm³.

Item B
A altura máxima é atingida pelo líquido quando ele alcança a aresta AB indicada na figura (a partir desse instante, o líquido transborda). Nesse mesmo instante, o líquido atinge o ponto médio da aresta EF.


A altura h atingida pelo líquido é igual ao cateto de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa medindo 20 cm. Logo, h² + h² = 20², o que fornece h = 10√2 cm.

O volume da lata que deixa de ser preenchido quando o líquido atinge essa altura é o volume de um prisma triangular, que é igual à metade do volume de um paralelepípedo retângulo de arestas iguais a 10. Logo, o volume não preenchido é igual a 

e, portanto, o volume de líquido, nesse instante, é igual a 2000 – 500 = 1.500 cm³.

Outra solução:
Quando começa a transbordar, o líquido ocupa um prisma reto. A base desse prisma é um trapézio de bases medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente, e altura medindo 10 cm; a altura do prisma mede 10 cm. Logo, seu volume é 

Item C
Até atingir o vértice F (quando h = 5√2), o líquido ocupa um prisma triangular, que corresponde à metade do volume de um paralelepípedo retângulo de arestas h√2, h√2 e 10 cm.

Logo, temos


(função quadrática).


Observe que, quando o vértice F é atingido, o volume de líquido é V × 10 = 500 cm³. A partir desse ponto, o líquido adicional ocupa um prisma cuja base é um retângulo de lados medindo 10 cm e 10√2 cm e cuja altura é (h - 5√2). Logo,


(função linear).

PRÓXIMA QUESTÃO:

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Enade,23,Enem,3,Exercícios,91,Exercícios de Alemão,1,Exercícios de Biologia,4,Exercícios de Ciências,3,Exercícios de Ciências da Natureza,1,Exercícios de Ciências Humanas,1,Exercícios de Educação Infantil,2,Exercícios de Espanhol,3,Exercícios de Filosofia,2,Exercícios de Física,6,Exercícios de Francês,3,Exercícios de Geografia,10,Exercícios de História,7,Exercícios de Inglês,5,Exercícios de Italiano,1,Exercícios de Linguagens,1,Exercícios de Literatura,3,Exercícios de Matemática,13,Exercícios de Português,13,Exercícios de Química,7,Exercícios de Redação,1,Exercícios de Sociologia,4,Exercícios Ensino Fundamental,1,Questões,2629,Questões da OAB,80,Questões da OBMEP,82,Questões da Santa Casa,100,Questões de Artes,40,Questões de Biologia,33,Questões de Ciências,36,Questões de Ciências da Natureza,75,Questões de Ciências Humanas,120,Questões de Espanhol,49,Questões de Filosofia,2,Questões de Física,77,Questões de Geografia,28,Questões de História,27,Questões de Inglês,51,Questões de Linguagens,119,Questões de Literatura,12,Questões de Matemática,395,Questões de Português,321,Questões de Química,48,Questões de Redação,4,Questões de Sociologia,20,Questões de Vestibular,288,Questões do Enade,685,Questões do Enem,404,
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