OBMEP 2021: Uma lata medindo 20 cm × 10 cm × 10 cm, sem tampa, é sustentada por um suporte

OBMEP 2021: Uma lata medindo 20 cm × 10 cm × 10 cm, sem tampa, é sustentada por um suporte, de modo que uma de suas arestas mais curtas fique apoiada no plano horizontal e as arestas mais longas formem um ângulo de 45° com o plano horizontal, conforme mostra a figura. Suponha que um líquido seja colocado na lata, até a altura h em relação ao plano horizontal, também como indicado na figura.

OBMEP 2021 - QUESTÃO 04

a) Qual é o volume total da lata?

b) Explique por que a altura máxima que o líquido vai atingir é 10√2 cm e calcule o volume de líquido na lata quando essa altura é atingida.

c) Faça o gráfico da função V, que fornece o volume V(h) de líquido na lata, em cm³, quando sua superfície está na altura h, em cm.

OBMEP 2021 - QUESTÃO 04

QUESTÃO ANTERIOR:

RESOLUÇÃO:
Item A
O volume total da lata é igual a 20 × 10 × 10 = 2.000 cm³.

Item B
A altura máxima é atingida pelo líquido quando ele alcança a aresta AB indicada na figura (a partir desse instante, o líquido transborda). Nesse mesmo instante, o líquido atinge o ponto médio da aresta EF.


A altura h atingida pelo líquido é igual ao cateto de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa medindo 20 cm. Logo, h² + h² = 20², o que fornece h = 10√2 cm.

O volume da lata que deixa de ser preenchido quando o líquido atinge essa altura é o volume de um prisma triangular, que é igual à metade do volume de um paralelepípedo retângulo de arestas iguais a 10. Logo, o volume não preenchido é igual a 

e, portanto, o volume de líquido, nesse instante, é igual a 2000 – 500 = 1.500 cm³.

Outra solução:
Quando começa a transbordar, o líquido ocupa um prisma reto. A base desse prisma é um trapézio de bases medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente, e altura medindo 10 cm; a altura do prisma mede 10 cm. Logo, seu volume é 

Item C
Até atingir o vértice F (quando h = 5√2), o líquido ocupa um prisma triangular, que corresponde à metade do volume de um paralelepípedo retângulo de arestas h√2, h√2 e 10 cm.

Logo, temos


(função quadrática).


Observe que, quando o vértice F é atingido, o volume de líquido é V × 10 = 500 cm³. A partir desse ponto, o líquido adicional ocupa um prisma cuja base é um retângulo de lados medindo 10 cm e 10√2 cm e cuja altura é (h - 5√2). Logo,


(função linear).

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