OBMEP 2021: Os números de 1 a 9 são distribuídos ao acaso e sem repetição nas casas do quadriculado desenhado na lousa ao lado. a) Qual é a ...
OBMEP 2021: Os números de 1 a 9 são distribuídos ao acaso e sem repetição nas casas do quadriculado desenhado na lousa ao lado.
a) Qual é a probabilidade de que a casa central seja preenchida com um número ímpar?
b) Qual é a probabilidade de que o quadriculado tenha uma coluna preenchida apenas com números pares?
c) Qual é a probabilidade de que o quadriculado tenha uma linha e uma coluna preenchidas apenas com números ímpares?
QUESTÃO ANTERIOR:
RESOLUÇÃO:
Observamos inicialmente que podemos considerar o quadriculado fixo na posição apresentada.
Item A
Qualquer casa do tabuleiro (em particular, a casa central) pode ser preenchida de nove maneiras, sendo quatro delas por um número par; a probabilidade pedida é, então
.
Item B
A probabilidade de que três casas fixas (não necessariamente na mesma coluna) sejam preenchidas apenas por números pares é ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhIueQcpxJnR5JTArzpnumkW6BLle7oVbKkqKll4Ocnf5o2tTZgBWNJXH3TDX9LUAxA_zoPKjTWIo-gzkduX0XUZmM-xCZ9i0ikQtJNZteR_8eRrth9fBoPtAIwpmrkfjAGA8A04qn7DDHXP-6GTCoCLitroq3QuPHNM_wEbS7o5Nej6zge3ZC3v8Yn)
De fato, a probabilidade de a primeira casa ser preenchida com um número par é de
conforme o item anterior; uma vez preenchida a primeira das três casas com um número par, a probabilidade de a segunda casa ser preenchida com um número par é ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiV0td6Tqw7fa7o-WcUCchdbg8pT2ABBnvClJ5Uf_HgAy_A0zEGEjPoSMESQLrqPOoO2bXWiKzPCTOIhNHLZPVjtyuGvZgO08xe9ku6qWNBtyK13oi8CVYlcvJbxsJQ2a0FHpJjc66Yx_RzpRsGNwoRn7UhFCNZtNmrG4KfQUOkkgJ08N8CcR7K0xbN)
Finalmente, uma vez preenchidas a primeira e a segunda casas com números pares, a probabilidade de a terceira casa também ser preenchida com um número par é
e segue nossa afirmativa inicial. Como podemos escolher uma coluna de três maneiras, a probabilidade procurada é ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEhRi2kUsUD7k2OBDEV3bqcS0kehJlLhH_HiFHXXyIlrHEE6wvDFZjcBX9ovNEwGZNucz28GM4qLYgHqIqu3abjCmykzG2NQgjkFW8n3BA6ZaBz2KFL5-mH3fDKOJO8IX_xYboCVAwhzLy59281QOM2YkT4hcbCnCPW263J2Wwck5hkLIb1Agv9Z9fD8)
Alternativamente, quatro casas fixas (em particular, uma coluna e uma casa extra) podem ser preenchidas com números pares de 4! maneiras e, após isso, as cinco casas restantes podem ser preenchidas com números ímpares de 5! maneiras. Logo, o número de maneiras de preencher o quadriculado de modo que essas quatro casas tenham números pares é 4! × 5!.
Como o número de maneiras de preencher o quadriculado sem restrições é 9!, a probabilidade de que essas quatro casas sejam preenchidas com números pares é ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEikJRCN8No7aYiWhUiMM7UU1NfCBvfHQK5VXoDjEoQlLhqu_HqsfYczHpHA6pFYZ-hIpw62E5tJ0yRASDk3khu3lpCQ9348T2S8WG9EVDd3KU8wJFbmktQd2Qx_9Z66BiYnqIeok2M_3XGun_c0hzP_jo0jx2hed4FnSuVtTJS-_IIoCG5w9sOeKHXV)
Finalmente, podemos fixar uma coluna e uma casa extra de 3 × 6 = 18 maneiras, e segue que a probabilidade procurada é ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEiM18m4WzBjDos4RE6uys8BPwhhtZnBDCXC-oPiFZaM1bxjfOnJVzZMbs4LwjW5UY3tHV7O060mQ5qaQDevKMQ5xMEjusDabtGwr8uDtzjMMyUXQYHrVJj1Ict9usQ5grEesbiF7lTAlUtLT6RBXLrvqPiqTf1MJ2A8mybFFuivmCcf1Ls6x5zGoSZN)
Item C
A probabilidade de que cinco casas fixas (não necessariamente formando uma linha e uma coluna) sejam preenchidas por números ímpares é, analogamente ao item anterior, igual a ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEgpm_RrAlkWIvXln2bUGHln_sCgANR6fE84J0B--AjS1Exf8oA3p6aghvupbcnGCUJj--q6G52AWrfl_OdnLEGjRP_x6sIsqGcqlDc8P20sDkzgRx1gd0tpqFSGETTncSYn8nCwSd59V5tnJsEjmgufSvMTFqt_boRMYS3Sn_XXC9HhlAWAxlUtbbiv)
Podemos escolher uma linha e uma coluna de 3 × 3 = 9 maneiras diferentes, e segue que a probabilidade pedida é
.
Alternativamente, cinco casas fixas (em particular, uma linha e uma coluna) podem ser preenchidas com números ímpares de 5! maneiras e as quatro casas restantes podem ser preenchidas com números pares de 4! maneiras. Podemos fixar uma linha e uma coluna de 3 × 3 = 9 maneiras, e segue, como no item anterior, que a probabilidade pedida é ![](https://blogger.googleusercontent.com/img/a/AVvXsEi0sWqoEKBsZeC1_RDx603mDE7bAncezjGM56oAVgYJDVb1efKM-ogZcBhfWkYhB9Cjhs4MArLLBS-khLfJUF7bOkMcJc8wyLISnqR_VyAYHLATJtMKsSYqLgIHV51zB0OJjUOdj9d7mB_Cky0SO7e5ghTqabFASg1KmVHZHeu-tU2sHY9YxGbFiyE8)
Notamos que o fato de a probabilidade em (c) ser a metade daquela em (b) não é apenas uma coincidência numérica, mas decorre do fato de que é possível associar a cada preenchimento do tabuleiro, como em (c), dois preenchimentos distintos, como em (b); reciprocamente, os preenchimentos como em (b) podem ser divididos em grupos de dois, de modo a gerar um preenchimento como em (c). Essa ideia está ilustrada na figura abaixo.
Dessa maneira, outra solução para essa questão é mostrar primeiro (b) e depois usar o argumento acima para mostrar (c), ou vice-versa.
PRÓXIMA QUESTÃO:
QUESTÃO DISPONÍVEL EM: