OBMEP 2021: Um dia é fantástico quando sua data, escrita na forma DD/MM/AA, contém todos os algarismos de 0 a 5

OBMEP 2021: Um dia é fantástico quando sua data, escrita na forma DD/MM/AA, contém todos os algarismos de 0 a 5. Por exemplo, o dia 12 de ab...
OBMEP 2021: Um dia é fantástico quando sua data, escrita na forma DD/MM/AA, contém todos os algarismos de 0 a 5. Por exemplo, o dia 12 de abril de 2053 será fantástico, pois sua data, 12/04/53, contém todos os algarismos de 0 a 5. Já o dia seguinte não será fantástico, pois sua data, 13/04/53, não contém o algarismo 2.

Um dia é fantástico quando sua data, escrita na forma DD/MM/AA, contém todos os algarismos de 0 a 5. Por exemplo, o dia 12 de abril de 2053 será fantástico, pois sua data, 12/04/53, contém todos os algarismos de 0 a 5.

a) Qual será o último dia fantástico do ano de 2054?

b) Qual foi o primeiro dia fantástico depois de primeiro de janeiro de 2001?

c) Entre 2001 e 2100, quantos anos têm pelo menos um dia fantástico?

QUESTÃO ANTERIOR:

RESOLUÇÃO:
Item A
Para uma data Dd/Mm/54 ser um dia fantástico, D, d, M, m devem ser 0, 1, 2 e 3, em alguma ordem, já que 4 e 5 estão presentes no ano. Como queremos o último dia fantástico desse ano, devemos buscar algum dia em dezembro. Assim, Mm = 12. Logo, como 30 é maior do que 03, o último dia fantástico de 2054 será 30/12/54.

Item B
No ano de 2001 não há dias fantásticos, pois não podemos escolher M, uma vez que, se Dd/Mm/Aa é fantástico, então, M = 0 ou M = 1. Além disso, nos anos de 2002, 2003, 2004 ou 2005, só poderá existir um dia fantástico se M = 1, já que 0 já foi utilizado. Nesse caso, devemos ter necessariamente m = 2, pois não podemos repetir o 1. Isso exclui a possibilidade de termos um ano fantástico em 2002. Para um dia ser fantástico em 2003, devemos ter D e d iguais a 5 e 4 em alguma ordem. Isso é impossível, pois dias assim não existem. Para termos um ano fantástico em 2004, devemos ter D e d iguais a 3 e 5 em alguma ordem. Isso também é impossível. Para termos um ano fantástico em 2005, devemos ter D e d iguais a 3 e 4 em alguma ordem. Impossível novamente.

O próximo ano a ser testado é 2010. Nesse caso, M não pode ser 1 ou 0. A seguir testamos 2012. Nesse caso, M = 0. Assim, D, d e m são 3, 4, 5 em alguma ordem (o que é impossível). 

Finalmente, testamos 2013. Nesse caso, M = 0, enquanto D, d e m são, em alguma ordem, iguais a 2, 4 e 5. Como D = 0, 1, 2 ou 3, devemos ter D = 2. Assim, como queremos o primeiro dia após 1.º de janeiro de 2001, a resposta é 25/04/13, pois ela vem antes de 24/05/13.

Item C
Vimos que, entre 2001 e 2100, o primeiro ano com alguma data fantástica é 2013 (item b) e o último é 2054 (item a). Mantendo a notação Dd/Mm/Aa e lembrando que letras diferentes correspondem a números diferentes do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}, podemos dividir a contagem em dois casos disjuntos:

Caso 1: {A, a} é um subconjunto com dois elementos distintos de {2, 3, 4, 5}.

Para um dia 1d/0m/Aa ser fantástico, basta que d, m, A, a sejam uma permutação de {2, 3, 4, 5}. Logo, se {A, a} for um subconjunto com dois elementos distintos de {2, 3, 4, 5}, esse ano terá pelo menos um dia fantástico do tipo 1d/0m/Aa. Podemos formar 4 × 3 = 12 anos com essa condição.

Caso 2: {A, a} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5} não é um subconjunto com dois elementos distintos de {2, 3, 4, 5}. Há três subcasos:

• A ∈ {2, 3, 4, 5} e a ∉ {2, 3, 4, 5} (são os anos de 2020, 2021, 2030, 2031, 2040, 2041, 2050 e 2051); ou
• A ∉ {2, 3, 4, 5} e a ∈ {2, 3, 4, 5} (são os anos de 2013, 2014 e 2015, pois os anos de 2002, 2003, 2004, 2005 e 2012 não têm datas fantásticas, já que elas começam a aparecer em 2013); ou
• A ∉ {2, 3, 4, 5} e a ∉ {2, 3, 4, 5} (os anos de 2000, 2001, 2010 e 2011 não têm datas fantásticas, já que elas começam a aparecer em 2013).

Os anos 2020, 2030, 2040 e 2050 (terminados em 0) não têm datas fantásticas. De fato, nesses casos, M = 1, D = 2 (o caso D = 3 forçaria d = 0 ou d = 1, já utilizados) e m não poderia ser nenhum de seus possíveis valores 0, 1 ou 2, pois eles já foram utilizados.

O ano de 2021 não tem datas fantásticas. Nesse caso, como antes, M = 0, D = 2 e não poderíamos escolher m.

Todos os anos restantes ― 2013, 2014, 2015, 2031, 2041, 2051 ― têm datas fantásticas, que são da forma 2d/0m/A1 ou da forma 2d/0m/1a, bastando escolher d, m e a como elementos de uma permutação de {3, 4, 5}. No total do caso 2, há, portanto, 6 possibilidades.

Juntando os casos 1 e 2, vemos que há um total de 12 + 6 = 18 anos com pelo menos um dia fantástico. Os anos que possuem alguma data fantástica são os seguintes. 

2013 (25/04/13 é um exemplo)
2014 (23/05/14)
2015 (23/04/15)
2023 (14/05/23)
2024 (15/03/24)
2025 (13/04/25)
2031 (24/05/31)
2032 (14/05/32)
2034 (12/05/34)
2035 (14/02/35)
2041 (23/05/41)
2042 (13/05/42)
2043 (12/05/43)
2045 (13/02/45)
2051 (23/04/51)
2052 (13/04/52)
2053 (14/02/53)
2054 (30/12/54)

Os demais anos entre 2001 e 2100 não possuem datas fantásticas.

PRÓXIMA QUESTÃO:

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
Nome

Enade,23,Enem,3,Exercícios,86,Exercícios de Alemão,1,Exercícios de Biologia,4,Exercícios de Ciências,3,Exercícios de Ciências da Natureza,1,Exercícios de Ciências Humanas,1,Exercícios de Educação Infantil,2,Exercícios de Espanhol,3,Exercícios de Filosofia,2,Exercícios de Física,6,Exercícios de Francês,2,Exercícios de Geografia,10,Exercícios de História,7,Exercícios de Inglês,5,Exercícios de Italiano,1,Exercícios de Linguagens,1,Exercícios de Literatura,3,Exercícios de Matemática,13,Exercícios de Português,13,Exercícios de Química,7,Exercícios de Redação,1,Exercícios de Sociologia,4,Exercícios Ensino Fundamental,1,Questões,1927,Questões da OBMEP,82,Questões de Biologia,32,Questões de Ciências,36,Questões de Ciências da Natureza,75,Questões de Ciências Humanas,120,Questões de Espanhol,44,Questões de Filosofia,1,Questões de Física,25,Questões de Geografia,28,Questões de História,27,Questões de Inglês,34,Questões de Linguagens,119,Questões de Literatura,12,Questões de Matemática,335,Questões de Português,289,Questões de Química,36,Questões de Redação,4,Questões de Sociologia,20,Questões do Enade,677,Questões do Enem,307,
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Meus Exercícios: OBMEP 2021: Um dia é fantástico quando sua data, escrita na forma DD/MM/AA, contém todos os algarismos de 0 a 5
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