OBMEP 2021: Um dia é fantástico quando sua data, escrita na forma DD/MM/AA, contém todos os algarismos de 0 a 5. Por exemplo, o dia 12 de ab...
OBMEP 2021: Um dia é fantástico quando sua data, escrita na forma DD/MM/AA, contém todos os algarismos de 0 a 5. Por exemplo, o dia 12 de abril de 2053 será fantástico, pois sua data, 12/04/53, contém todos os algarismos de 0 a 5. Já o dia seguinte não será fantástico, pois sua data, 13/04/53, não contém o algarismo 2.
a) Qual será o último dia fantástico do ano de 2054?
b) Qual foi o primeiro dia fantástico depois de primeiro de janeiro de 2001?
c) Entre 2001 e 2100, quantos anos têm pelo menos um dia fantástico?
QUESTÃO ANTERIOR:
RESOLUÇÃO:
Item A
Para uma data Dd/Mm/54 ser um dia fantástico, D, d, M, m devem ser 0, 1, 2 e 3, em alguma ordem, já que 4 e 5 estão presentes no ano. Como queremos o último dia fantástico desse ano, devemos buscar algum dia em dezembro. Assim, Mm = 12. Logo, como 30 é maior do que 03, o último dia fantástico de 2054 será 30/12/54.
Item B
No ano de 2001 não há dias fantásticos, pois não podemos escolher M, uma vez que, se Dd/Mm/Aa é fantástico, então, M = 0 ou M = 1. Além disso, nos anos de 2002, 2003, 2004 ou 2005, só poderá existir um dia fantástico se M = 1, já que 0 já foi utilizado. Nesse caso, devemos ter necessariamente m = 2, pois não podemos repetir o 1. Isso exclui a possibilidade de termos um ano fantástico em 2002. Para um dia ser fantástico em 2003, devemos ter D e d iguais a 5 e 4 em alguma ordem. Isso é impossível, pois dias assim não existem. Para termos um ano fantástico em 2004, devemos ter D e d iguais a 3 e 5 em alguma ordem. Isso também é impossível. Para termos um ano fantástico em 2005, devemos ter D e d iguais a 3 e 4 em alguma ordem. Impossível novamente.
O próximo ano a ser testado é 2010. Nesse caso, M não pode ser 1 ou 0. A seguir testamos 2012. Nesse caso, M = 0. Assim, D, d e m são 3, 4, 5 em alguma ordem (o que é impossível).
Finalmente, testamos 2013. Nesse caso, M = 0, enquanto D, d e m são, em alguma ordem, iguais a 2, 4 e 5. Como D = 0, 1, 2 ou 3, devemos ter D = 2. Assim, como queremos o primeiro dia após 1.º de janeiro de 2001, a resposta é 25/04/13, pois ela vem antes de 24/05/13.
Item C
Vimos que, entre 2001 e 2100, o primeiro ano com alguma data fantástica é 2013 (item b) e o último é 2054 (item a). Mantendo a notação Dd/Mm/Aa e lembrando que letras diferentes correspondem a números diferentes do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}, podemos dividir a contagem em dois casos disjuntos:
Caso 1: {A, a} é um subconjunto com dois elementos distintos de {2, 3, 4, 5}.
Para um dia 1d/0m/Aa ser fantástico, basta que d, m, A, a sejam uma permutação de {2, 3, 4, 5}. Logo, se {A, a} for um subconjunto com dois elementos distintos de {2, 3, 4, 5}, esse ano terá pelo menos um dia fantástico do tipo 1d/0m/Aa. Podemos formar 4 × 3 = 12 anos com essa condição.
Caso 2: {A, a} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4, 5} não é um subconjunto com dois elementos distintos de {2, 3, 4, 5}. Há três subcasos:
• A ∈ {2, 3, 4, 5} e a ∉ {2, 3, 4, 5} (são os anos de 2020, 2021, 2030, 2031, 2040, 2041, 2050 e 2051); ou
• A ∉ {2, 3, 4, 5} e a ∈ {2, 3, 4, 5} (são os anos de 2013, 2014 e 2015, pois os anos de 2002, 2003, 2004, 2005 e 2012 não têm datas fantásticas, já que elas começam a aparecer em 2013); ou
• A ∉ {2, 3, 4, 5} e a ∉ {2, 3, 4, 5} (os anos de 2000, 2001, 2010 e 2011 não têm datas fantásticas, já que elas começam a aparecer em 2013).
Os anos 2020, 2030, 2040 e 2050 (terminados em 0) não têm datas fantásticas. De fato, nesses casos, M = 1, D = 2 (o caso D = 3 forçaria d = 0 ou d = 1, já utilizados) e m não poderia ser nenhum de seus possíveis valores 0, 1 ou 2, pois eles já foram utilizados.
O ano de 2021 não tem datas fantásticas. Nesse caso, como antes, M = 0, D = 2 e não poderíamos escolher m.
Todos os anos restantes ― 2013, 2014, 2015, 2031, 2041, 2051 ― têm datas fantásticas, que são da forma 2d/0m/A1 ou da forma 2d/0m/1a, bastando escolher d, m e a como elementos de uma permutação de {3, 4, 5}. No total do caso 2, há, portanto, 6 possibilidades.
Juntando os casos 1 e 2, vemos que há um total de 12 + 6 = 18 anos com pelo menos um dia fantástico. Os anos que possuem alguma data fantástica são os seguintes.
2013 (25/04/13 é um exemplo)
2014 (23/05/14)
2015 (23/04/15)
2023 (14/05/23)
2024 (15/03/24)
2025 (13/04/25)
2031 (24/05/31)
2032 (14/05/32)
2034 (12/05/34)
2035 (14/02/35)
2041 (23/05/41)
2042 (13/05/42)
2043 (12/05/43)
2045 (13/02/45)
2051 (23/04/51)
2052 (13/04/52)
2053 (14/02/53)
2054 (30/12/54)
Os demais anos entre 2001 e 2100 não possuem datas fantásticas.
PRÓXIMA QUESTÃO:
QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
