OBMEP 2021: Gabriel gosta de preencher quadriculados 3 × 3 com números de forma que quaisquer três deles, alinhados na horizontal

OBMEP 2021: Gabriel gosta de preencher quadriculados 3 × 3 com números de forma que quaisquer três deles, alinhados na horizontal, vertical ...
OBMEP 2021: Gabriel gosta de preencher quadriculados 3 × 3 com números de forma que quaisquer três deles, alinhados na horizontal, vertical ou diagonal, tenham a seguinte propriedade: o número central deve ser a média aritmética dos seus dois vizinhos.

OBMEP 2021 - QUESTÃO 01

a) Complete o preenchimento do quadriculado abaixo, iniciado por Gabriel.


b) Preencha o quadriculado abaixo seguindo a mesma instrução indicada anteriormente.


c) Qual será a soma dos nove números do quadriculado abaixo após Gabriel terminar de preenchê-lo?


QUESTÃO ANTERIOR:

RESOLUÇÃO:
Item A

• Começando a preencher pela primeira linha, temos que a média de 2 e 14 é 

• Em seguida, podemos preencher a primeira coluna, cuja média é 10. Logo, os dois números vizinhos devem somar 20; portanto, 18 é o número que falta na primeira coluna.

• Passando para a diagonal que contém o 18, a média entre 14 e 18 é 

• A outra diagonal, assim como a segunda coluna e a segunda linha, tem média 16; logo, podemos facilmente preencher as casas restantes, pois 30 + 2 = 32; 8 + 24 = 32 e 10 + 22 = 32.

Observe que tudo se completou corretamente.

Item B


Vamos chamar de A o número que está na primeira linha e na primeira coluna, mas poderíamos ter escolhido outra casa da tabela para começar.

Assim, o número que falta na primeira linha é 14 – A, o número que falta na primeira coluna é 18 – A. Agora, pela diagonal que contém esse último número, temos que a casa central terá o número 16 – A.


Agora, temos que 20 + A = 32 – 2A, logo, A = 4.


Resta preencher as duas casas restantes. Isso é bastante simples, já que 17 + 7 = 24 = 2 × 12 e 20 + 10 = 30 = 2 × 15.

Item C
Agora só queremos a soma das nove casas e não o preenchimento completo. A casa central deve ser preenchida com 22.

Agora observe que as casas que ainda não foram preenchidas devem somar 28 + 44 + 60 = 132, pois A + B = 28; C + D = 44 e E + F = 60. Logo, as nove casas somam 132 + 14 + 22 + 30 = 198. Observe que 198 = 3 × (14 + 22 + 30) = 9 × 22.


PRÓXIMA QUESTÃO:

QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
Nome

Enade,23,Enem,3,Exercícios,86,Exercícios de Alemão,1,Exercícios de Biologia,4,Exercícios de Ciências,3,Exercícios de Ciências da Natureza,1,Exercícios de Ciências Humanas,1,Exercícios de Educação Infantil,2,Exercícios de Espanhol,3,Exercícios de Filosofia,2,Exercícios de Física,6,Exercícios de Francês,3,Exercícios de Geografia,10,Exercícios de História,7,Exercícios de Inglês,5,Exercícios de Italiano,1,Exercícios de Linguagens,1,Exercícios de Literatura,3,Exercícios de Matemática,13,Exercícios de Português,13,Exercícios de Química,7,Exercícios de Redação,1,Exercícios de Sociologia,4,Exercícios Ensino Fundamental,1,Questões,1952,Questões da OBMEP,82,Questões de Biologia,33,Questões de Ciências,36,Questões de Ciências da Natureza,75,Questões de Ciências Humanas,120,Questões de Espanhol,44,Questões de Filosofia,1,Questões de Física,25,Questões de Geografia,28,Questões de História,27,Questões de Inglês,34,Questões de Linguagens,119,Questões de Literatura,12,Questões de Matemática,360,Questões de Português,289,Questões de Química,36,Questões de Redação,4,Questões de Sociologia,20,Questões do Enade,677,Questões do Enem,307,
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Meus Exercícios: OBMEP 2021: Gabriel gosta de preencher quadriculados 3 × 3 com números de forma que quaisquer três deles, alinhados na horizontal
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Meus Exercícios
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