OBMEP 2021: A figura ao lado mostra um hexágono regular ABCDEF e os pontos médios P, Q, R, S e T dos lados AB, CD, DE, EF e FA, respectivamente

OBMEP 2021: A figura ao lado mostra um hexágono regular ABCDEF e os pontos médios P, Q, R, S e T dos lados AB, CD, DE, EF e FA, respectivamente.


a) Se a área do triângulo AST for igual a 1 cm², qual será a área do triângulo FTS?


b) Qual é a razão entre as áreas dos triângulos APR e PBQ?



c) Qual é a razão entre as áreas sombreada e não sombreada na figura abaixo?



QUESTÃO ANTERIOR:

RESOLUÇÃO:
Item A
Os triângulos AST e FTS têm a mesma área e, portanto, a área de FTS é igual a 1 cm². De fato, o segmento GS, na figura, é perpendicular à reta que contém os lados AT e TF dos triângulos AST e FTS e é a altura comum desses triângulos relativa a esses lados. Como T é ponto médio de AT, os triângulos AST e FTS têm a mesma área.



Item B
A razão entre as áreas dos triângulos APR e PBQ é 

De fato, os lados AP e PB dos triângulos APR e PBQ, respectivamente, são colineares e têm a mesma medida. Os segmentos paralelos a eles, pelos pontos médios T, S e pelo vértice F do hexágono, como indicado na figura ao lado, dividem as alturas dos triângulos APR e PBQ na razão  pois esses segmentos paralelos a AB e ED, recém-traçados são equidistantes.

Como as bases têm a mesma medida, a razão entre as áreas coincide com a razão entre as alturas e é igual a 


Item C


Para calcular a razão entre as áreas sombreada e não sombreada, façamos o seguinte: tracemos os segmentos AEe P’R’, paralelos à diagonal BD do hexágono ABCDEF, sendo P’ e R’ determinados pela intersecção da reta paralela a BD passando pelo vértice F com os prolongamentos dos lados BA e DE, respectivamente, conforme a figura à esquerda.

Esses segmentos determinam um paralelogramo BDR’P’, que é um retângulo (os ângulos ABD e BDE são retos).

Além disso, como o triângulo BCD tem a mesma área que a reunião dos triângulos AFP´ e ER´F, por congruência, o retângulo BDR’P’ tem a mesma área que o hexágono original, que denotaremos por H.

Podemos comparar a área de cada um dos triângulos sombreados com a área H do hexágono.

• A área do triângulo APR é a metade da área do retângulo APRE, que, por sua vez, é igual a 

Daí, a área desse triângulo é igual a 

• A área do triângulo PBQ é  da área do triângulo APR, conforme visto no item b) e, portanto, sua área será 

• A área do triângulo AST é metade da área do triângulo ASF — vide item a) —, que, por sua  vez, é igual a da área do retângulo P´AER´, portanto, sua área será 


Temos, portanto, que a área sombreada é  e, consequentemente, a área não sombreada é igual a 

Conclusão: a razão entre as áreas sombreada e não sombreada é igual a 

PRÓXIMA QUESTÃO:

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