OBMEP 2021: A figura ao lado mostra um hexágono regular ABCDEF e os pontos médios P, Q, R, S e T dos lados AB, CD, DE, EF e FA, respectivame...
OBMEP 2021: A figura ao lado mostra um hexágono regular ABCDEF e os pontos médios P, Q, R, S e T dos lados AB, CD, DE, EF e FA, respectivamente.
a) Se a área do triângulo AST for igual a 1 cm², qual será a área do triângulo FTS?
b) Qual é a razão entre as áreas dos triângulos APR e PBQ?
c) Qual é a razão entre as áreas sombreada e não sombreada na figura abaixo?
QUESTÃO ANTERIOR:
RESOLUÇÃO:
Item A
Os triângulos AST e FTS têm a mesma área e, portanto, a área de FTS é igual a 1 cm². De fato, o segmento GS, na figura, é perpendicular à reta que contém os lados AT e TF dos triângulos AST e FTS e é a altura comum desses triângulos relativa a esses lados. Como T é ponto médio de AT, os triângulos AST e FTS têm a mesma área.
Item B
A razão entre as áreas dos triângulos APR e PBQ é 
De fato, os lados AP e PB dos triângulos APR e PBQ, respectivamente, são colineares e têm a mesma medida. Os segmentos paralelos a eles, pelos pontos médios T, S e pelo vértice F do hexágono, como indicado na figura ao lado, dividem as alturas dos triângulos APR e PBQ na razão 
pois esses segmentos paralelos a AB e ED, recém-traçados são equidistantes.
pois esses segmentos paralelos a AB e ED, recém-traçados são equidistantes.Como as bases têm a mesma medida, a razão entre as áreas coincide com a razão entre as alturas e é igual a 
Item C
Para calcular a razão entre as áreas sombreada e não sombreada, façamos o seguinte: tracemos os segmentos AEe P’R’, paralelos à diagonal BD do hexágono ABCDEF, sendo P’ e R’ determinados pela intersecção da reta paralela a BD passando pelo vértice F com os prolongamentos dos lados BA e DE, respectivamente, conforme a figura à esquerda.
Esses segmentos determinam um paralelogramo BDR’P’, que é um retângulo (os ângulos ABD e BDE são retos).
Além disso, como o triângulo BCD tem a mesma área que a reunião dos triângulos AFP´ e ER´F, por congruência, o retângulo BDR’P’ tem a mesma área que o hexágono original, que denotaremos por H.
Podemos comparar a área de cada um dos triângulos sombreados com a área H do hexágono.
• A área do triângulo APR é a metade da área do retângulo APRE, que, por sua vez, é igual a 
Daí, a área desse triângulo é igual a 
• A área do triângulo PBQ é 
da área do triângulo APR, conforme visto no item b) e, portanto, sua área será 
da área do triângulo APR, conforme visto no item b) e, portanto, sua área será • A área do triângulo AST é metade da área do triângulo ASF — vide item a) —, que, por sua vez, é igual a
da área do retângulo P´AER´, portanto, sua área será 
da área do retângulo P´AER´, portanto, sua área será Temos, portanto, que a área sombreada é 
e, consequentemente, a área não sombreada é igual a 
e, consequentemente, a área não sombreada é igual a Conclusão: a razão entre as áreas sombreada e não sombreada é igual a 
PRÓXIMA QUESTÃO:
QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
