OBMEP 2022 - QUESTÃO 07 Uma folha de papel retangular ABCD, de 10 cm por 20 cm, tem uma face colorida e o verso branco. Foram feitas duas do...
OBMEP 2022 - QUESTÃO 07
Uma folha de papel retangular ABCD, de 10 cm por 20 cm, tem uma face colorida e o verso branco. Foram feitas duas dobras nessa folha, levando-se os pontos A e C sobre a diagonal BD, de modo que s dobras ficaram paralelas a essa diagonal, como mostrado na figura abaixo.
Qual é a área da região colorida que fica visível após as dobras?
(A) 25 cm²
(B) 50 cm²
(C) 75 cm²
(D) 100 cm²
(E) 125 cm²
QUESTÃO ANTERIOR:
GABARITO:
(D) 100 cm²
RESOLUÇÃO:
Solução sem usar semelhança de triângulos:
Ao dobrar a folha, o vértice A do quadrado coincide com o ponto A' da diagonal. Como a reta MN é a mediatriz do segmento AA”, temos AS = SA' e AA' perpendicular a MN. Como MN é paralela à diagonal BD, o segmento MR paralelo a AA' é também perpendicular a BD. Temos, dessa forma, dois triângulos retângulos congruentes ASM e MRD, pelo caso ALA de congruência de triângulos. Logo, AM = MD = 5. De forma análoga, concluímos que os triângulos retângulos ANS e NBT são congruentes, logo AN = NB = 10.
A área dos triângulos congruentes AMN e AMN é igual a 
Dada a simetria de 180º da figura, concluímos que a área dos triângulos CPQ e C'PQ também é 25. Consequentemente, a área da região colorida visível é igual à área da folha menos quatro vezes a área do triângulo AMN, ou seja, igual a 10 x 20 — 4 x 25 = 200 — 100 = 100 cm?.
Solução usando semelhança de triângulos:
Como MN é paralela a BD, concluímos que os triângulos AMN e ADB são semelhantes, de alturas homólogas AS e AA'. Pela dobra temos AA'= 2AS, logo a área do triângulo ABD é 4 vezes a área do triângulo AMN. Como a área do triângulo ADB é metade da área da folha, isto é, 100 cm², a área do triângulo AMN é 25 cm². Novamente, a Área da região colorida visível é igual à área da folha menos quatro vezes a área do triângulo AMN, ou seja, igual a 10 x 20 — 4 x 25 = 200 — 100 = 100 cm².
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