OBMEP 2022 - QUESTÃO 16 João montou oito dados idênticos a partir da planificação da figura, e com eles formou um cubo. Qual é a menor soma ...
OBMEP 2022 - QUESTÃO 16
João montou oito dados idênticos a partir da planificação da figura, e com eles formou um cubo. Qual é a menor soma possível para os 24 números que aparecem nas faces do cubo?
(A) 32
(B) 48
(C) 56
(D) 64
(E) 72
QUESTÃO ANTERIOR:
GABARITO:
(C) 56
RESOLUÇÃO:
Observando a planificação, vemos que a menor soma possível para três faces vizinhas de um pequeno dado é 1 + 2+4=7 e, juntando adequadamente 8 dados na posição em que essas faces com soma mínima formem s faces do cubo grande, concluímos que a menor soma possível dos 24 números que aparecem nas faces do cubo grande é 8 x 7 =56.
Mais detalhadamente, ao juntar os oito dados idênticos, formamos um cubo maior, como na figura ao lado, e em cada face desse cubo maior aparecem quatro números. Portanto, nas seis faces desse cubo maior aparecem 6 x 4 = 24 números. Por outro lado, cada vértice do cubo maior corresponde a um dos oito vértices do dado e cada vértice do dado tem três de suas faces concorrendo nesse vértice.
Assim, os 24 números que aparecem nas seis faces do cubo maior são provenientes de faces comuns dos dados, faces essas que ficaram visíveis após a montagem, incluindo a que fica apoiada sobre a mesa. Logo, a menor soma possível para os números que aparecem nas faces do cubo formado é igual a oito vezes a menor soma possível para as três faces comuns de um vértice de um dado.
Ao montar o dado a partir de sua planificação observamos que as faces opostas serão
2 e 5, 1 e 3, 6 e 4
Observamos também que as faces comuns aos vértices do dado serão:
Assim, a menor soma possível para os números que aparecem nas faces do cubo formado será 8 x 7 = 56.
PRÓXIMA QUESTÃO:
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