UECE 2021.1 : Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações x² – 2x – 1 = 0 e x⁴ + ...
UECE 2021.1: Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações x² – 2x – 1 = 0 e x⁴ + 13x² + 36 = 0. Se X = W ∪ V, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual a
Nota: i é o número complexo cujo quadrado é igual a –1.
A) 20.
B) –20.
C) 4i.
D) –4i.
QUESTÃO ANTERIOR:
RESOLUÇÃO (Por: Prof. Alan Rangel*):
Primeiramente devemos garantir que W ∩ V = { }, pois o problema pede a soma dos quadrados dos elementos de X = W ∪ V , e se houver um elemento na interseção entre W e V, este elemento aparecerá uma única vez em X. E de fato, as raízes de x² − 2x − 1 = 0 são reais e as raízes de x⁴ + 13x² + 36 = 0 não são reais, portanto W ∩ V = { }.
Analisando separadamente as equações: Sejam x1 e x2 as raízes de x² − 2x − 1 = 0 e x3, x4, x5, x6 as raízes de x⁴ + 13x² + 36 = 0.
Pelas relações de Girard, temos:
Equação 1: x² − 2x − 1 = 0
Elevando ao quadrado ambos os membros da primeira equação e substituindo x1 · x2 = −1:
Equação 2 : x⁴ + 13x² + 36 = 0
Elevando ao quadrado ambos os membros de x3 + x4 + x5 + x6 = 0, temos:
Como
somando as duas equações chegamos em:
GABARITO:
B) –20.
PRÓXIMA QUESTÃO:
QUESTÃO DISPONÍVEL EM:
*resolução enviada por colaborador. Saiba mais!